Он родился в Ленинграде, в семье учёных: отец — доктор наук в области теоретической механики, мать — инженер-механик. По настоянию родителей Андрей Мягков окончил Ленинградский химико-технологический институт по специальности химик-технолог по производству пластических масс и даже устроился работать по специальности, но химию так и не полюбил… Институт ему нравился тем, что там была большая сцена, зрительный зал и студенческий театральный коллектив. На этой сцене его и заметил один из преподавателей Школы-студии МХАТ, и предложил прийти к ним на просмотр.

«Серебряные трубы», к/с им. М. Горького, 1970, реж. Э. Бочаров

В Школу-студию МХАТ он поступил легко, а сразу после диплома стал артистом московского театра «Современник». Его первой театральной ролью был Дядюшка из пьесы «Дядюшкин сон», и так получилось, что эта роль сразу привела его в кино. Однажды на этот спектакль пришёл режиссёр Элем Климов, очень заинтересовался молодым актёром и предложил ему роль в фильме «Похождения зубного врача». Это было первое появление Андрея Мягкова на экране, однако, он не считал это полноценным дебютом — вскоре после премьеры на фильм обрушилась цензура, он отправился на полку и пролежал там более двадцати лет.

«Похождения зубного врача», к/с «Мосфильм», 1965, реж. Э. Климов

Через несколько лет после почти незаметного дебюта Андрей Мягков сыграл героя, которого потом называл своей лучшей ролью в кино. В «Братьях Карамазовых» знаменитого Ивана Пырьева актёр играл серьёзную драматическую роль — монастырского послушника Алёшу Карамазова. В целом он посчитал этот фильм не лучшей экранизацией произведения Достоевского, но она принесла ему первый успех и узнаваемость у зрителей.

«Братья Карамазовы», к/с «Мосфильм», 1968, реж. И. Пырьев

Еще на первом курсе Андрей Мягков познакомился с Анастасией Вознесенской и сразу понял, что это его судьба. У молодой актрисы была масса поклонников, но скромный интеллигентный Мягков покорил её пением под гитару… На втором курсе они поженились и до сих пор неразлучны. Вместе они играли в «Современнике», вместе ушли во МХАТ и даже сниматься старались вместе. Точнее, это он старался взять жену с собой в кино, так как его карьера сложилась гораздо успешнее. Вместе они снялись в 16 фильмах, и было такое, что Мягков отказывался от роли, если для Вознесенской у режиссёра не находилось места… Именно поэтому он не сыграл Нестора Петровича в «Большой перемене» — актёр хотел, чтобы жена сыграла Светлану Афанасьевну, но у Алексея Коренева было другое видение героини.

«Гараж», к/с «Мосфильм», 1979, реж. Э. Рязанов

«Звёздный час» Андрея Мягкова пробил в 70-х годах. В 1975 году вышел фильм Эльдара Рязанова «Ирония судьбы, или С лёгким паром!», успех которого до сих пор не может повторить ни один фильм. Роль Жени Лукашина предполагалась для Олега Даля, но после проб режиссёр отказался от идеи — слишком острохарактерный получался персонаж. Так же не были утверждены Андрей Миронов, Пётр Вельяминов и Станислав Любшин. Рязанов искал актёра, который бы оставался симпатичным в состоянии полного несоображания. Андрея Мягкова режиссёр вообще не считал комедийным актёром — разве может он после ролей Алёши Кармазова, Герцена и Ленина играть пьяного чудака с банным веником в обнимку?.. Рязанов был очень удивлён, что пробы Мягкова оказались самыми убедительными!

«Ирония судьбы, или С легким паром!», к/с «Мосфильм», 1975, реж. Э. Рязанов

Расспросов про «Иронию судьбы…» актёр не любит — на долгие годы к нему прилепился Женя Лукашин и о других ролях его почти не спрашивали. И вот спустя два года в фильмографии Мягкова появился новый народный герой — Анатолий Ефремович из «Служебного романа«! Образ Новосельцева создавали костюмеры и гримеры — в робкого статистика актёра превращали мешковатым костюмом, накладными усиками и очками для дальнозорких, которые делали глаза больше и растерянней. Режиссёром «Служебного романа» стал тот же Эльдар Рязанов, который понял какой огромный комедийный талант скрывался в драматическом актёре.

«Служебный роман», к/с «Мосфильм», 1977, реж. Э. Рязанов

Во время съёмок «Служебного романа» актёр нелестно отозвался о стихах английского поэта Уильяма Блейка, которые звучали в песне «У природы нет плохой погоды…». Откуда же ему было знать, что Блейк никогда не писал такого стихотворения, а автором был сам Эльдар Рязанов! Тогда режиссёр этот факт тщательно скрывал и себя не выдал. Однако затаил обиду и на съёмках фильма «Гараж» отомстил актёру — обнародовал его начинающуюся лысину и сделал его Хвостова безголосым…

«Гараж», к/с «Мосфильм», 1979, реж. Э. Рязанов

Для большинства зрителей популярность Андрея Мягкова связана, в первую очередь, с именем Эльдара Рязанова, но актёр работал со многими знаменитыми режиссёрами — Леонидом Гайдаем, Дмитрием Астраханом, Марленом Хуциевым, Владимиром Басовым и многими другими. И вопреки создавшемуся имиджу лирического и комедийного героя, он не раз играл чекистов и следователей, и даже не всегда его персонажи были положительными. В драме «Контракт со смертью» он сыграл одержимого хирурга Игнатовского, а в комедии «На Дерибасовской хорошая погода, или На Брайтон-Бич опять идут дожди» — пусть комедийного, но всё-таки мафиозо.

«Контракт со смертью», к/с «Беларусьфильм», 1998, реж. Д. Астрахан

«На Дерибасовской хорошая погода, или На Брайтон-Бич опять идут дожди», к/с «Мосфильм», 1992, реж. Л. Гайдай

После съёмок четвёртого совместного фильма — «Жестокий романс» — дружеские отношения между Андреем Мягковым и Эльдаром Рязанов охладели. Актёр несколько раз отказался от приглашений режиссёра и тот перестал звать его в свои фильмы. Спустя много лет Андрей Мягков предложил режиссёру ещё раз поработать вместе, но тот его даже слушать не захотел… Дело в том, что актёр давно хотел сделать продолжение знаменитой «Иронии судьбы…», и даже написал сценарий. С этим сценарием он и пришёл к Рязанову, который с порога отказался от предложения. Мягков от своей идеи не отступился, нашёл продюсеров и запустил фильм «Ирония судьбы. Продолжение». Но когда актёр прочитал то, что осталось от его сценария, — сам сниматься отказался. Уговорил его Константин Хабенский, которого Мягков очень ценит.

«Ирония судьбы. Продолжение», к/к «Первый канал», «Мосфильм», «Bazelevs», 2007, реж. Т. Бекмамбетов

Андрей Мягков написал не только сценарий, ещё он выпустил три детективных романа о молодом сыщике по кличке Сивый Мерин. Актёр рассказывал, что к писательству его подтолкнула жена — как-то раз пожаловалась, что ей очень не хватает интересных книг, и он взялся за дело… В 2001 году по книге «Сивый Мерин» был снят сериал с Александром Домогаровым и Ольгой Арнтгольц. Помимо писательства актёр увлекается портретной живописью — его картины были у Олега Ефремова, Галины Волчек и Михаила Горбачёва.

«Ирония судьбы. Продолжение», к/к «Первый канал», «Мосфильм», «Bazelevs», 2007, реж. Т. Бекмамбетов

В последние годы Андрей Мягков не снимается — последний фильм с его участием вышел в 2010 году. Актёр говорит, что рад бы работать, но ему не нравятся современные сценарии и предлагаемые роли. Да и вообще к современному кино он относится скептически: «Кино стало бесчувственное, бессердечное. Это не русское искусство. Его мы забросили совершенно. У советского кино было свое лицо, а сейчас его взяли, повернули затылком и нарисовали на нем американскую физиономию…»